Jika sin a = 12/13 dan sudut a ada di kuadran kedua, maka tentukan cos a dan tan a!

✔ de eka sas Comment
Dalam soal ini ada kata kunci kuadran kedua, artinya apa? Ada beberapa kriteria yang mempengaruhi nilai-nilai trigonometri di kuadran ini.


Syaratnya harus diperhatikan, jangan sampai salah.
Inilah yang sering dijadikan jebakan untuk mengecoh siswa sehingga mengarah ke jawaban yang salah.

Soal 

Kita lihat lagi soalnya.


Soal :

1. Jika sin a = ¹²∕₁₃ dan sudut a ada di kuadran kedua, tentukanlah nilai dari cos a dan tan a!


Apa yang terjadi di setiap kuadran?

Nilai sin cos tan di setiap kuadran

Ok...
Lebih dulu harus diketahui tanda minus atau plus dari sin cos tan di masing-masing kuadran. 

Perhatikan gambar di bawah.



Itulah nilai dari sin, cos dan tan di masing-masing kuadran. Kuadran dilambangkan dengan huruf romawi.


Melengkapi panjang segitiga siku-siku

Pada soal diketahui :
  • sin a = ¹²∕₁₃
Menggunakan data ini kita bisa mencari satu lagi panjang sisi segitiga yang belum diketahui. Rumus pitagoras sangatlah membantu.



Di sana sudah ada sudut a.
Sin adalah hasil pembagian dari sisi di depan sudut dengan sisi miring.

Sehingga :



Dari bentuk di atas kita bisa menemukan :
  • PQ = 12
  • PR = 13


Kemudian gunakan dua nilai itu untuk mencari panjang sisi segitiga yang lagi satu, yaitu QR.

Gunakan rumus pitagoras.


  • Masukkan nilai PQ dan PR

  • Pindahkan 144 ke ruas kanan menjadi -144
  • Akarkan 25 untuk mendapatkan QR.
QR diperoleh 5.


Mencari cos a

Setelah mengetahui semua panjang pada segitiga siku-siku, sekarang kita dengan mudah mencari nilai cos dan tan sudut a.

Lihat lagi gambar segitiga lengkap dengan ukuran masing-masing sisi.




Untuk mendapatkan cos a, bagilah sisi di samping sudut a dengan sisi miring segitiga.




Jangan lupa!
Untuk di kuadran II, nilai cos negatif, jadi tambahkan tanda negatif di depan cos ya!


Mencari tan a

Nilai cos sudah diperoleh dan sekarang mencari tan a.
Tangen (tan) adalah hasil pembagian sisi di depan sudut dengan sisi di samping sudutnya.



Tan pada kuadran kedua bernilai negatif, jadi harus ditambahkan tanda minus ya!

Itulah cara mendapatkan cos dan tan dari suatu sudut jika diketahui nilai sin-nya berapa. 


Alternatif mencari tan

Tan bisa dicari dengan menggunakan rumus lain. 
Seperti apa?

Tan adalah hasil pembagian dari sin dan cos.

Jadi tan a = sin a : cos a.

Dari soal kita sudah mendapatkan nilai :
  • sin a = ¹²∕₁₃
  • cos a = -⁵∕₁₃
Masukkan data ini ke rumus tan a.




  • Tanda bagi diubah menjadi kali 
  • Pecahan di belakang tanda bagi ditukar pembilang dan penyebutnya
  • Sedangkan pecahan di depan tanda bagi tidak berubah
  • Kedua bilangan 13 disederhanakan



Dan diperoleh tan a = -¹²∕₅
Sama hasilnya dengan cara pertama.

Ok...
Sekian dulu dan nanti kita sambung lagi dengan soal matematika yang lain.
Selamat belajar ya!


Baca juga ya :

Hitunglah hasil dari ²log16!

✔ de eka sas Comment
Agar dapat menyelesaikan persoalan logaritma, maka kita harus paham dengan sifat-sifat logaritma itu sendiri. Setelah memahaminya, barulah bisa dengan mudah menyelesaikan setiap soal yang diberikan.


Nanti dalam pengerjaan soal akan diberikan sifat-sifat pendukung, sifat yang bisa digunakan untuk mencari jawabannya.

Hitunglah ²log16

Baik...
Sekarang kita hitung soal ini, ²log16.

Agar dapat menyelesaikan soal ini, perhatikan sifat logaritma di bawah.



Itulah sifat-sifat yang membantu kita.

= ²log 16
  • 16 diubah menjadi bentuk pangkat, yaitu 2⁴
= ²log2⁴
  • Menggunakan sifat logaritma pertama, pangkat 4, dipindahkan ke depan menjadi pengali.

= 4. ²log2

Sampai di sini sudah mengerti ya?
Perhatikan sifat-sifatnya lagi dan coba ulang dari awal untuk memahami soalnya.

Kita lanjutkan soalnya.

= 4. ²log2
  • Gunakan sifat ketiga (3), 
  • ²log2 = 1
  • Ketika angka 2 warna merah sama dengan angka 2 warna hijau, maka hasilnya pasti 1
  • Lihat lagi sifat ketiga ya!
= 4.1

= 4.

Jadi jawaban soal ini adalah 4.


Cari jawaban ²log16²

Sekarang kita ubah soalnya sedikit, kalau seperti ini hasilnya bagaimana?
Masih menggunakan sifat-sifat di atas, kita bisa mencari jawaban soal ini.

= ²log16²
  • Sesuai sifat pertama (1), pangkatnya dipindahkan ke depan soal menjadi pengali
  • Pangkat dari 16 adalah 2
  • 2 inilah yang dipindahkan ke depan
= 2. ²log16
  • Sekarang 16 sudah tidak punya pangkat
  • Ubah 16 menjadi 2⁴
= 2. ²log2⁴
  • Kembali gunakan sifat pertama (1), pangkat 4 dipindahkan ke depan menjadi pengali
= 2.4.²log2
  • Gunakan sifat ketiga (3)
  • ²log2 = 1
= 2.4.1

= 8.

Inilah jawabannya, yaitu 8.

Menghitung ²log16 dengan sifat kedua

Kita juga bisa menghitung soal pertama dengan menggunakan sifat kedua. Caranya dibuat ke dalam bentuk pecahan.

Mari kerjakan.


  • Gunakan sifat kedua untuk mengubah bentuk log menjadi pecahan


  • Ubah 16 menjadi 2⁴


  • Gunakan sifat pertama (1), pangkat 4 dipindahkan ke depan menjadi pengali
  • log 2 di atas dan log 2 di bawah bisa dicoret.

Hasilnya adalah 4.
Sama kan dengan soal pertama jawabannya.


Mencari jawaban ²log(16.2)

= ²log(16.2)
  • Kalikan dulu 16 dan 2 menjadi 32
= ²log32
  • Ubah 32 menjadi 2⁵
= ²log2⁵
  • Menggunakan sifat pertama, pangkat dipindah ke depan menjadi pengali
= 5.²log2
  • ²log2 = 1
  • Sesuai dengan sifat ketiga

= 5.1

= 5.



Mencari jawaban ²log(16.2) dengan sifat dengan tambahan

Sifat yang membantu adalah :





= ²log(16.2)
  • Gunakan sifat ke-empat
= ²log16 + ²log2

  • 16 diubah menjadi 2⁴

= ²log2⁴ + ²log2
  • Pangkat 4 dibawa ke depan menjadi pengali
= 4.²log2 + ²log2
  • ²log2 = 1
  • Sesuai dengan sifat ketiga (3)
= 4.1 + 1

= 4 + 1

= 5.

Hasilnya sama dengan cara di atas ya.

Perhatikan sifatnya

Menuntaskan soal logaritma memang harus memahami sifat-sifat yang berlaku. Sebenarnya masih ada beberapa sifat lagi, tetapi sebagian besar merupakan turunan dari sifat-sifat di atas. Bermodal sifat di atas, kita bisa menyelesaikan hampir semua soalnya.

Jadi hafalkan ya.

Semakin sering berlatih semakin hafal.

Silahkan coba-coba soal yang ada di buku dan terapkan penggunaan sifatnya dengan baik. Latihan akan membuat kita tambah mengerti.

Nah...
Itulah beberapa soal tentang logaritma dan akan kita sambung lagi di artikel selanjutnya.
Selamat belajar ya!


Baca juga ya :

Menghitung luas kubus jika diketahui volumenya 64 cm³

✔ de eka sas Comment
Sebelum mendapatkan luas kubus, kita harus mengetahui nilai lain dari kubusnya. Karena diketahui volume, maka kita perlu mencari panjang rusuk (r).


Konsep soal

Pada soal diketahui volume. Jadi kita akan menggunakan rumus volume untuk mendapatkan panjang rusuknya.

Rumus volume kubus = r³ 
Atau bisa ditulis, volume kubus = r × r × r 

Dengan menggunakan rumus di atas, kita bisa mencari rusuknya. Setelah itu baru bergerak menghitung luasnya.

Untuk luas, rumusnya seperti di bawah.
Luas = 6×r²
Ganti r yang diperoleh dari volume dan masukkan ke dalam rumus kubus. Nah, kitapun bisa mendapatkan luasnya.


Soal

Ok...
Inilah soalnya.


Soal :

1. Hitunglah luas kubus jika volumenya 64 cm³!


Kita mulai dengan mencari rusuk (r).


Mencari panjang rusuk (r)

Dalam soal diketahui :
  • Volume = 64 cm³

V = r³
  • V = 64
  • Ganti V dengan 64

64 = r³
  • Nilai r yang memenuhi agar r³ menjadi 64 adalah 4.
r = ∛64
  • Atau dengan cara lain, yaitu meng-akar tigakan 64.
  • Akar tiga dari 64 adalah 4

r = 4 cm

Panjang rusuk kubus, yaitu 4 cm.


Mencari luas kubus

Panjang rusuk kubus (r) = 4 cm.
Sekarang masukkan ke rumus luas kubus.

Luas kubus = 6×r²
  • r = 4 cm
Luas kubus = 6×4²
  • 4² =  16
Luas kubus = 6×16

Luas kubus = 96 cm²




Soal :

2. Sebuah kubus volumenya 125 cm³, berapakah luas permukaannya?


Cari dulu panjang rusuknya (r).

Mencari panjang rusuk (r)

Diketahui :
  • Volume = 125 cm³

V = r³

125 = r³

r = ∛125
  • Akar tiga dari 125 adalah 5
  • 5×5×5 = 125

r = 5 cm.


Mencari luas kubus

Panjang rusuk kubus (r) = 5 cm.
Langsung masukkan ke rumus luas kubus untuk mendapatkan luas permukaannya.

Luas kubus = 6×r²
  • r = 5 cm
Luas kubus = 6×5²
  • 5² =  25
Luas kubus = 6×25

Luas kubus = 150  cm²

Dan...
Kita sudah mendapatkan luas permukaan dari kubus adalah 150 cm².

Jadi...
Seperti itulah proses mendapatkan luas permukaan sebuah kubus jika diketahui volumenya. Perhatikan langkah-langkahnya ya.

Secara singkat inilah yang dilakukan :
  • Dari volume bisa dihitung panjang rusuknya
  • Setelah panjang rusuk ditemukan, bisa menghitung luasnya.
Ok...
Selamat belajar dan semoga membantu ya!!


Baca juga ya :

Nilai dari (sin x.cos x)/tan x adalah...

✔ de eka sas Comment
Pembagian trigonometri akan menghasilkan bentuk yang lebih sederhana dan kita harus mengetahui sifat-sifat atau hubungan dari sin, cos dan tan.

Dengan sifat ini, bentuk sederhananya bisa diperoleh.


Sifat yang membantu

Di bawah ada beberapa sifat trigonometri yang membantu kita dalam menjawab soal ini. Mungkin hanya satu yang digunakan, tetapi anda bisa mengingatnya untuk menjawab soal lain dengan model seperti ini.



Itulah tiga sifat umum trigonometri.
Hafalkan ya!

Soal pertama

Mari kita kerjakan soal yang pertama, seperti apa pengubahannya.


Soal :

1. Sederhanakanlah bentuk trigonometri berikut :  


Kita tulis lagi soalnya.


  • Bentuk pecahan diubah menjadi pembagian agar lebih mudah dikerjakan


  • sin x dan cos x tidak bisa diubah karena sudah bentuk dasar trigonometri.
  • Yang bisa diubah hanya tan x.
  • Ingat sifat di atas, tan x adalah hasil pembagian dari sin x dan cos x 


  • Untuk pembagian dengan pecahan, tanda bagi diubah menjadi perkalian
  • Sedangkan pecahan di belakang tanda bagi, yaitu sin x/cos x ditukar posisinya menjadi cos x/sin x.
  • Itulah cara membagi dengan pecahan ya.


  • Kedua sin x bisa dicoret karena posisinya di atas dan di bawah
  • Sehingga menyisakan cos x dikali cos x.

Nah...
Inilah bentuk sederhananya, yaitu cos²x

Bagaimana, mudah bukan?


Soal kedua

Lanjut ke soal berikutnya.

Soal :

2. Sederhanakanlah bentuk ini :  



Seperti biasa, ubah bentuk pecahannya menjadi pembagian agar mudah dikerjakan.



  • Yang bisa diubah dari bentuk di atas adalah sin 2x dan tan x
  • sin2x = 2sin x.cos x
  • tan x = sin x/cos x


  • Sekarang ubah tanda bagi menjadi perkalian
  • Sehingga pecahan di belakangnya ditukar posisi, dari semula sin x/cos x menjadi cos x/sin x.



  • Kita bisa mencoret sin x karena ada di pembilang dan penyebut




Nah...
Hasilnya adalah 2cos²x

Seperti itulah cara menyederhanakan bentuk trigonometri. Nanti akan kita sambung lagi dengan soal-soal sejenis.
Selamat belajar dan semoga membantu ya!

Baca juga ya :

Carilah titik pusat dan jari-jari lingkaran x² + y² - 3x - 4y + 20 = 0!

✔ de eka sas Comment
Ketika diberikan persamaan lingkaran, kita bisa menghitung titik pusatnya dengan menggunakan rumus tertentu.

Seperti apa rumusnya?



Konsep soal

Untuk mendapatkan titik pusat, kita akan menggunakan rumus di bawah. Tetapi sebelumnya kita lihat dulu rumus umum persamaan lingkaran.

x² + y² + Ax + By + C = 0

Itulah rumus umum lingkaran.

Mencari titik pusat lingkaran rumus yang digunakan :

a = -A/2
b = -B/2

Sedangkan untuk jari-jarinya :


Keterangan :
  • r = jari-jari lingkaran
  • a = titik pusat lingkaran pada sumbu x
  • b = titik pusat lingkaran pada sumbu y
  • C = konstanta pada persamaan lingkaran

Soal 

Sekarang kita coba soalnya.


Soal :

1. Carilah titik pusat dan jari-jari lingkaran x² + y² - 3x - 4y - 20 = 0!


Tulis kembali persamaan lingkarannya dan persamaan umumnya.

x² + y² - 3x - 4y - 20 = 0
x² + y² + Ax + By + C = 0

Perhatikan di bawah ini :
  • A adalah koefisien x, sehingga A = -3
    Warna merah
  • B adalah koefisien y, sehingga B = -4
    Warna biru
  • C adalah konstanta, tidak memiliki variabel, C = -20
    Warna hijau

Begitulah langkah menentukan A, B dan C.
Sekarang kita bisa masuk ke rumus mencari titik pusat.


Titik pusat (a,b)

Sekarang kita gunakan rumusnya.

a = -A/2
  • A = -3
a = -(-3)/2
  • -(-3) = +3

a = ³∕₂


Selanjutnya cari b.

b = -B/2
  • B = -4
b = -(-4)/2
  • -(-4) = +4
b = 4/2

b = 2

Kita peroleh :
  • a = ³∕₂
  • b = 2

Sehingga tidak pusatnya (a,b) = (³∕₂,2)


Mencari jari-jari (r)

Diketahui :
  • a = ³∕₂
  • b = 2
  • C = -20

  • Ganti a, b dan C
  • Samakan penyebutnya biar menjadi 4 semua



Nah...
Itulah jari-jari lingkarannya.



Soal :

2.  Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran x² + y² + 4x - 10y + 5 = 0!


Kita tentukan A dan B dengan menuliskan kembali persamaan lingkarannya dan membandingkan dengan rumus umum lingkaran.

x² + y² + 4x - 10y + 5 = 0
x² + y² + Ax + By + C = 0

Perhatikan di bawah ini :
  • A adalah koefisien x, sehingga A = 4
    Warna merah
  • B adalah koefisien y, sehingga B = -10
    Warna biru
  • C adalah konstanta, tidak memiliki variabel, C = +5
    Warna hijau

Ok...
Kita sudah mendapatkan nilai dari A, B dan C.

Menentukan titik pusat (a,b)

Gunakan rumus untuk mencari titik pusat pada koordinat x dan y.

a = -A/2
  • A = 4
a = -4/2

a = -2


Selanjutnya cari b.

b = -B/2
  • B = -10
b = -(-10)/2
  • -(-10) = +10
b = 10/2

b = 5

Kita peroleh :
  • a = -2
  • b = 5
Sehingga tidak pusatnya (a,b) = (-2,5)

Menghitung  jari-jari (r)

Dari perhitungan di atas kita sudah mendapatkan beberapa nilai yang diperlukan untuk menghitung jari-jari (r) lingkaran.
  • a = -2
  • b = 5
  • C = +5
Masukkan nilai-nilai di atas ke rumus jari-jari lingkaran.


Bentuk di  atas masih bisa disederhanakan lagi.


Nah...
Jari-jarinya adalah 2√6.


Baca juga ya :

Suhu sebuah es mula-mula -10⁰C. Setelah diletakkan di atas meja suhunya naik 1⁰C setiap dua menit. Suhu es setelah 10 menit adalah...

✔ de eka sas Comment
Jika es diletakkan di luar ruangan, suhunya akan meningkat, perlahan mencair. Mencairnya es disebabkan karena suhu ruangan yang lebih tinggi dari titik beku es.

Titik beku es adalah 0⁰C, sedangkan suhu di luar ruangan rata-rata 25⁰C. 


Konsep soal

Ketika es diletakkan di atas meja, suhunya meningkat dengan kecepatan tertentu. Kita bisa menghitung peningkatan suhunya.

Setelah bertemu kecepatan peningkatan suhu, pertambahan suhu bisa dihitung. Terakhir tambahkan dengan suhu awal es.

Langkahnya seperti berikut :
  • Cari kecepatan peningkatan suhu
  • Hitung pertambahan suhu yang terjadi
  • Cari suhu akhir dengan menambahkan suhu awal dan penambahan suhu yang terjadi
Itulah langkah-langkah untuk mendapatkan suhu akhir dari esnya.


Soal

Sekarang kita terapkan ke dalam soal.


Soal :

1. Suhu awal sebuah es adalah 10⁰C. Setelah diletakkan di atas meja, suhunya naik 1⁰C setiap dua menit. Hitunglah suhu es setelah 10 menit!


Mari kita ikuti langkah-langkah pengerjaan soalnya.


Mencari kecepatan peningkatan suhu

Data pada soal adalah :
  • Suhu naik 1⁰C setiap dua menit
Dengan mudah kita buat kecepatan peningkatan suhunya, yaitu :



Peningkatan suhunya adalah ½⁰C setiap menit.


Mencari pertambahan suhu

Sekarang kita bisa cari berapa suhu es bertambah setelah 10 menit.
Caranya dengan mengalikan kecepatan peningkatan suhu dengan waktu yang disediakan, yaitu 10 menit.

Pertambahan suhu adalah...


  • Kalikan 1 dengan 10 karena sama-sama ada di atas (sebagai pembilang)
  • Sedangkan 2 tetap karena tidak ada kawan di sebelahnya.
Suhu es bertambah 5⁰C setelah 10 menit.


Mencari suhu akhir es

Dari 10 menit es berada di atas meja, ternyata suhunya bertambah 5⁰C.
Maka suhu akhir es adalah...

Suhu akhir = suhu awal es + pertambahan suhu selama 10 menit

Suhu akhir = -10⁰C + 5⁰C

Suhu akhir = -5⁰C.

Jadi...
Suhu akhir es setelah 10 menit di atas meja adalah -5⁰C.



Soal :

2. Sebongkah es pada awalnya bersuhu -4⁰C. Kemudian es ini diletakkan di dalam piring dan suhunya meningkat 2⁰C setiap lima menit. Hitunglah suhu es setelah 20 menit!


Langkahnya masih sama dengan soal pertama ya!

Mencari kecepatan peningkatan suhu

Diketahui pada soal :
  • Suhu naik 2⁰C setiap lima menit
Data ini sekarang diubah menjadi kecepatan peningkatan suhu.




Mencari pertambahan suhu

Mencari pertambahan suhu tinggal kalikan kecepatan peningkatan suhu dengan waktu yang disediakan.



  • Kalikan 2 dengan 20 karena sama-sama sebagai pembilang yang letaknya ada di atas.
  • 8 tetap karena tidak ada kawan lagi di sebelahnya.
Suhu es bertambah 8⁰C setelah 20 menit.


Mencari suhu akhir es

Langkah selanjutnya mencari suhu akhir es.

Suhu akhir = suhu awal es + pertambahan suhu selama 20 menit

Suhu akhir = -4⁰C + 8⁰C

Suhu akhir = 4⁰C.

Nah....
Suhu es sekarang menjadi 4⁰C.


Baca juga ya:

Jumlah deret geometri 12, 9, ²⁷∕₄, ...... adalah

✔ de eka sas Comment
Deret geometri adalah deret yang mempunyai rasio atau gampangnya untuk mencari suku selanjutnya kalikan rasio dengan satu suku sebelumnya.

Rasio dilambangkan dengan "r".



Deret geometri tidak hingga

Jenis deret ini adalah deret tidak hingga. 
Mengapa?
Karena deretnya tidak ada batasnya, terus berlanjut sampai tidak terhingga.

Untuk mendapatkan jumlahnya, menggunakan rumus Sn yang berbeda.



Keterangan :
  • a = suku awal
  • r = rasio
Rasio (r) adalah hasil pembagian dari dua suku berurutan.


Soal

Ok...
Sekarang kita kerjakan soalnya.

Soal :

1. Hitunglah jumlah deret berikut : 12, 9, ²⁷∕₄, ...


Kita perlu mencari rasionya dulu..


  • Rasio bisa diperoleh dengan membagi suku kedua dengan suku pertama
  • Atau membagi suku ketiga dengan suku kedua

Mencari jumlah deret (Sn)

Data pada soal menjadi :
  • Suku awal (a) = 12
    Suku awal adalah suku paling pertama dari suatu deret
  • r = ¾

Masukkan data-data ini ke dalam rumus jumlah suku tak hingga.

  • Ganti a = 12
  • r = ¾


  • Bentuk pecahan antara 12 dan ¼ bisa dibuat menjadi pembagian agar memudahkan mencari hasilnya
  • Tanda bagi berubah menjadi kali dan pecahan di belakangnya ditukar dari 1/4 menjadi 4/1

Jumlah deret tak hingga deret di atas adalah 48.
Itulah jawabannya.



Soal kedua

Ok...
Lanjutkan dengan soal kedua.

Sekarang kita kerjakan soalnya.

Soal :

2. Berapakah jumlah dari deret berikut : 24, 12, 6, 3, .....


Dari soal kita baru tahu suku awalnya saja (a).
  • a = 24.
Kita tentukan dulu rasionya (r).




Rasionya sudah diperoleh.


Mencari jumlah deret (Sn)

Sekarang datanya menjadi :
  • Suku awal (a) = 24
  • r = ½

  • Bentuk pecahan antara 24 dan 1/2 diubah menjadi pembagian



Jadi...
Jumlah deretnya adalah 48.

Seperti itulah cara mencari jumlah deret tak hingga.

Baca juga ya :

Subscribe to: Posts (Atom)